Técnicas y Estrategias de Solución de Problemas de Movimiento Rectilíneo Uniforme

Ecuaciones de movimiento

 Cuadro de texto:  

 x          es la posición final

x0         es la posición inicial

v           es la velocidad uniforme

Cuadro de texto:  
        es la velocidad media

t           es el tiempo final

t0          es el tiempo inicial (generalmente igual a cero)

 

1.- La luz se mueve con velocidad de 300 000 Km/s. ¿Cuanto tarda un rayo de luz en ir del Sol a la Tierra si la distancia es de 150 millones de Km.?

Datos:

Ecuación:

Operaciones:

v = 300 000 Km/s

x = 150 x 106 Km

x = x0 + v t

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 2.- La velocidad del sonido es de 340 m/s., y la de la luz 300 000 kms/s. Un relámpago se produce en un punto situado a 100 Km de un observador. ¿ Que registra primero el observador ? ¿El sonido o la luz? ¿Con que diferencia de tiempos?

Datos:

Ecuación:

Operaciones:

vs = 340 m/s

vl = 300 000 kms/s

x = 100 Km

xs = x0 + vs ts

xl = x0 + vl tl

 

Cuadro de texto:  

Convertir Km a m para ser consecuente con las unidades antes de realizar las operaciones.

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

En notación científica

Cuadro de texto:  

Comparando los tiempos, el  observador registra primero la luz y después el sonido

 

La diferencia de tiempos es

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 3.- Un camión hace un recorrido entre dos ciudades que distan 60 Km una de otra. En los primeros 40 Km desarrolla una velocidad de 80 kms/hr. sobre una carretera asfaltada. En los restantes, la carretera es de terracería y solo consigue desarrollar 20 Kms/hr.

a) ¿Cuál es el tiempo total del viaje

b) ¿Cuál es la velocidad media del camión en el recorrido total del viaje?

 Cuadro de texto:  
a) El viaje total lo dividimos en dos secciones ya que el camión tiene diferentes velocidades en cada una de esas secciones, siendo dichas velocidades constantes para cada una de ellas.

            Determinamos el tiempo que tardo el camión en recorrer los primeros 40 Km utilizando la ecuación:

Cuadro de texto:  

 Despejamos el tiempo

Marcamos la ecuación con subíndices para diferenciar las secciones del viaje

 

Sustituimos valores y resolvemos

Primera sección

 Cuadro de texto:  

Segunda sección

 

El tiempo total será la suma de los dos tiempos

 Cuadro de texto:  

b) Para determinar la velocidad media del camión aplicamos la ecuación:

 

 4.- Un auto y un camión salen al mismo tiempo y en la misma dirección pero de ciudades diferentes que se encuentran separadas por 100 Km 

            El auto desarrolla una velocidad constante vA = 100 Km/hr y el camión una velocidad también constante  vC = 80 Km/hr. El auto alcanzará al camión por ir más rápido. ¿Cuanto tiempo tarda en alcanzarlo, y a que distancia de la ciudad de donde sale el camión ocurre el alcance?

Planteamiento del problema

 

El primer paso para el planteamiento del problema, es realizar una dibujo con los cuerpos que se están estudiando. Como son dos, es necesario identificar cada uno de ellos, para esto, utilizamos subíndices.

 El siguiente paso, es elegir nuestro sistema de referencia a partir del cual empezaremos a observar el movimiento de los cuerpos.

Dicho sistema es el eje horizontal y puesto que el origen lo podemos elegir arbitrariamente en el lugar que queramos, lo tomamos en el punto de donde parte el automóvil.

 Como tercer paso, debajo de los dibujos de cada cuerpo, escribimos las variables o parámetros involucradas siendo estas: posición, velocidad y tiempo.

Aquellas variables que tienen subíndices cero son llamadas condiciones iniciales y las que únicamente tienen el subíndice que diferencia a los cuerpos son llamadas condiciones finales.

 a) Para calcular el tiempo que tarda en alcanzar el auto al camión, observemos la figura y preguntémonos ¿Que sucede cuando se alcanzan?

 Para que un cuerpo alcance al otro, es requisito necesario que los dos cuerpos se encuentren en la misma posición (uno al lado del otro).

 Luego entonces, la posición final del auto debe de ser igual a la posición final del camión.

 Esta expresión verbal la traducimos a símbolos matemáticos de la siguiente forma:

Cuadro de texto:  

  Ahora bien, recordemos lo que dice el enunciado del problema "Salen al mismo tiempo" lo cual traducido a símbolos significa que:

Cuadro de texto:  

  A continuación escribimos las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo.

Auto

 

Camión

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

Sabemos que las posiciones finales de ambos cuerpos son iguales, luego entonces podemos igualar las ecuaciones

 

Cuadro de texto:  

 

 

Y como los tiempos son iguales, les quitamos el subíndice quedándonos:

 

pasando los términos que tienen t hacia la derecha

 

factorizando

 

Cuadro de texto:  

despejando

 

Cuadro de texto:  

sustituyendo valores y resolviendo

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 b) Para determinar la distancia a la que ocurre el alcance, sustituimos el tiempo encontrado en cualquiera de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos.

Auto

 

Camión

 

 

 

Cuadro de texto:  

            Debemos recordar que los resultados obtenidos son posiciones finales. Como nos piden la distancia en donde ocurre el alcance medida a partir de donde sale el camión, hacemos:

 Cuadro de texto:  

5.- Dos trenes se aproximan uno al otro por la misma vía y sus maquinistas van dormidos en los controles. Cuando un transeúnte parado en la orilla de la vía los observa por primera vez, se encuentran separados por una distancia de 500 m. Uno va con una velocidad de 30 m/s en tanto que el otro viene con una de 20 m/s.

a) ¿De cuanto tiempo disponen los maquinistas antes de despertar?

b) Realice una gráfica de x vs. t

Planteamiento del problema

a) Para determinar el tiempo del que disponen los maquinistas para despertar, debemos determinar el tiempo que tardan en chocar los trenes, esto ocurre cuando están en la misma posición, es decir,

 (Posición final del tren uno = posición final del tren dos)

 

Ecuaciones de movimiento

 

Tren 1

 

Tren 2

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

 

igualando ecuaciones

 

 

Cuadro de texto:  

pasando términos comunes ( con t) a la izquierda

 

Cuadro de texto:  

Factorizando

 

Cuadro de texto:  

Despejando

 

Cuadro de texto:  

Sustituyendo

 Antes de sustituir valores, debemos tener cuidado con los datos. Recordemos que cuando un cuerpo (tren 2) se mueve hacia la izquierda, su velocidad es negativa

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

b) Para graficar:

            i)  En primer lugar necesitamos la ecuación (o ecuaciones) que deseamos graficar.

            Estas son:

Tren 1

 

 

 

Tren 2

Cuadro de texto:  

 

 

 

Cuadro de texto:  

 

Con sus valores numéricos:

 

Cuadro de texto:  

 

 

 

Cuadro de texto:  

 

ii)                   A continuación se requiere una tabulación para cada ecuación, dicha tabulación se realiza asignando valores al tiempo, sustituyéndolo en las ecuaciones y encontrando el valor correspondiente de la posición

 

Ejemplo:

 

Para t = 6s

 

 

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 

En la mayoría de las ocasiones no es necesario realizar las operaciones con las unidades, únicamente debemos asurarnos de que estas son congruentes para poderlas sumar, restar o multiplicar.

 

 

Tabulación

 

Tren 1

 

Tren 2

x (m.)

t (s)

 

x (m)

t (s)

0

0

 

500

0

60

2

 

460

2

120

4

 

420

4

180

6

 

380

6

240

8

 

340

8

300

10

 

300

10

330

12

 

260

12

               

iii)            A continuación, lo que procede es la realización de la gráfica

b) Para graficar:

            i)  En primer lugar necesitamos la ecuación (o ecuaciones) que deseamos graficar.

            Estas son:

  6.- Encontrar las velocidades de dos objetos que se mueven con velocidads constantes, si cuando sus sentidos son contrarios se aproximan 5 m. cada segundo y cuando tienen el mismo sentido se aproximan 5 m. cada 10 s.

Ecuaciones:

Auto A

 

Auto B

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

Como las distancia que se acercan los dos cuerpos es de 5 m (distancia que recorren entre los dos).

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

Mismo sentido vA > 0

Cuadro de texto:  

t = 1 s.

Sentido contrario vB< 0

Cuadro de texto:  

t = 10 s.

Sustituyendo t y resolviendo el sistema de ecuaciones lineales mediante el método de suma y resta:

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

 

Cuadro de texto:  

Cuadro de texto:  

 

 

Cuadro de texto:  

 

 

7.- En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de una partícula en movimiento.

a) Describa el movimiento de la partícula.

b) Exprese la ecuación de movimiento con sus valores numéricos.

 

a) Descripción del movimiento:

  i) Como la gráfica de x vs. t es una línea recta, entonces el movimiento es rectilíneo uniforme. El cuerpo NO SE ESTÁ MOVIENDO HACIA ARRIBA sobre la recta, ésta es únicamente la historia del movimiento del cuerpo que se mueve sobre una carretera horizontal.

 ii) Originalmente el cuerpo se encontraba a 10 cm a la izquierda del origen.

 iii) Como la pendiente de la recta es positiva, se mueve hacia la derecha (hacia el origen), llegando a él en 5 s.

  iv) Se sigue moviendo hacia la derecha (alejándose del origen) hasta llegar a 10 cm del mismo.

La posición inicial es de -10 cm y la final de +10 cms. Luego entonces el desplazamiento es:

 vi) La distancia recorrida fue de 20 cm en un tiempo total desde que se empezó a mover de 10 segundos.

b) La ecuación de movimiento es:

que es la expresión de una línea recta donde:

es la intersección de la recta con el eje vertical. Observando la gráfica vemos que la recta cruza el eje vertical en -10, luego entonces:

es la pendiente (m) o grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal. Dicha pendiente se determina mediante la ecuación:

 

  Para encontrar su valor numérico elegimos cualesquier par de puntos (x,t) que estén sobre la recta, pudiendo ser las parejas (-10, 0) y (0, 5).

sustituyendo:

 

luego entonces, la ecuación de movimiento con sus valores numéricos es:

 

y como la posición (x) es una función del tiempo (t), también se puede expresar como:

 

8.- Aplicando los conocimientos teóricos abordados en el tema de movimiento rectilíneo uniforme, analice y extraiga toda la información que le sea posible de la siguiente gráfica que representa la historia del movimiento de un cuerpo.

 

 Por ejemplo:

 a) La distancia recorrida por el cuerpo en los siguientes intervalos de tiempo:

0 a 2 s.

2 a 5 s.

5 a 7 s.

b) La distancia cubierta por el cuerpo en el intervalo de tiempo de 0 a 7 s.

c) La velocidad media o uniforme en cada uno de esos intervalos de tiempo.

d) La dirección del movimiento en esos mismos intervalos.

e) Las ecuaciones de movimiento en cada intervalo de tiempo (teniendo cuidado en el intervalo de 0 a 7 s. donde se supone que el cuerpo se mueve desde la posición marcada con el punto A hasta la posición marcada con el punto D, uniendo dichos puntos mediante una  recta).

 a) Distancia recorrida por el cuerpo en los intervalos de tiempo:

i) 0 s. a 2 s.      30 m.

ii) 2 s. a 5 s.     0 m.

iii) 5 s a 7 s.      40 m.

 b) Distancia recorrida por el cuerpo en el intervalo de:

i) 0 s. a 7 s.      70 m.

 c) Velocidad uniforme en los intervalos de tiempo:

 i) 0 s. a 2 s

 

ii) 2 s. a 5 s.

 

 iii) 5 s. a 7 s.

 

 d) Para conocer las direcciones de movimiento en los intervalos anteriores, observemos como son los signos de las velocidades medias encontradas, recordando que si:

 * significa movimiento hacia la derecha.

 *  significa movimiento hacia la izquierda.

   significa reposo o que el cuerpo regresó a su posición inicial en ese período de tiempo.

 De esta forma:

0 s. a 2 s. el cuerpo se mueve hacia la derecha con una rapidez de 15 m/s

2 s. a 5 s. el cuerpo permanece en reposo en la posición x = 40 m.

5 s. a 7 s. el cuerpo se regresa con una rapidez de 20 m/s.

 e) Las ecuaciones de movimiento en los intervalos de tiempo son:

0 s a 2 s.  

2 s. a 5 s.

5 s. a 7 s.

0 s a 7 s.  

Obteniéndose la velocidad de esta última ecuación a partir de:

 

 9. Analice la siguiente gráfica y calcule la distancia recorrida por el cuerpo.

En una gráfica de v vs. t, la distancia recorrida por el cuerpo viene representada por el área bajo la curva (en este caso bajo la recta). En el movimiento rectilíneo uniforme, esto surge a partir de la ecuación de movimiento:

 

o bien

donde t es la base y v es la altura del rectángulo (s).

 Adicionalmente, debemos recordar que la distancia recorrida por un cuerpo viene dada por el valor absoluto ( norma o magnitud) del desplazamiento, es decir:

Luego entonces, la distancia recorrida por el cuerpo viene dada por la suma de las áreas de los rectángulos.

 

10.- Sobre una carretera recta, un cuerpo A moviéndose con velocidad constante, se encuentra en t = 0 s. en el punto origen; y en el tiempo t = 1 s. en la posición x = 1 m. Sobre la misma carretera, otro cuerpo B también moviéndose con velocidad constante, se encuentra en t = 0 s. en x = 5 m. y en el tiempo t = 1 s. en x = 3 m.

a) ¿En que instantes la distancia entre los dos cuerpos es de 1 m?

b ) Describa el movimiento de ambos cuerpos.